Question

已知数列{an}满足；a(1)=1，a(n+1)=3a(n)+4(n∈N*） 设b(n)=na(n)(n∈N*),求数列bn的前n项的和Tn

Answer 1

解：∵a(n+1)=3a(n)+4
∴a(n+1)+2=3a(n)+4+2
∴a(n+1)+2=3（a(n)+2）
∴数列{an+2}是以3为首项以3为公比的等比数列
因此an+2=3^n
∴an=3^n-2
∴bn=n(3^n-2)
Tn=3^1+2*3^2+3*3^3+……+n*3^n-2(1+2+3+……+n)…………①
3Tn=3^2+2*3^3+3*3^4+……+(n-1)3^n+n*3^(n+1)-6(1+2+3+……+n)…………②
①-②得：
-2Tn=3+3^2+3^3+……+3^n-n*3^(n+1)+4(1+2+3+……+n)
=-3(1-3^n)/2-n*3^(n+1)+2n(n+1)
所以Tn=(6n-1)*(3^n)/4+n²+n+3/4

追问

结果是不是算错了 为什么我算的是[（6n-3）*3^n]/4-n^2-n+3/4

追答

不好意思结果算错了
答案是(6n-3)*(3^n)/4-n²-n+3/4

Answer 2

a1=1
a2=3+3+1=2*3+1
a3=3(2*3+1)+3+1=2(3^2+3)+1
a4=3(2*3^2+2*3+1)+3+1=2*3^3+2*3^2+3+3+1=2*(3^3+3^2+3)+1
……
an=2(3^(n-1)+3^(n-2)+……+3)+1=2*3(3^(n-1)-1/(3-1)+1=3^n-2
bn=nan=n3^n-2n
Tn=1*3-2*1+2*3^2-2*2+3*3^3-2*3……+n*3^n-2*n
=1*3+2*3^2+3*3^3+……+ n*3^n-2(1+2+3+……+n)
=1*3+2*3^2+3*3^3+……+ n*3^n-(1+n)n
3Tn=2*3^2+3*3^3++3*3^3……+ n*3^n + (n+1)*3^(n+1)-3(1+n)n
Tn=(3Tn-Tn)/2
=((n+1)*3^(n+1)-1*3-3(1+n)n)/2

追问

结果是不是算错了 为什么我算的是[（6n-3）*3^n]/4-n^2-n+3/4

Answer 3

待定系数，设a(n+1)+x=3(a(n)+x),将题中已知代入得3a(n)+4+x=3(a(n)+x) 所以 3a(n)+4+x=3a(n)+3x 所以 4+x=3x 所以 x=2 所以 a(n+1)+2=3(a(n)+2) 所以 (a(n)+2）是 以3为公比，3为首相（代入A（1）可得）的等比数列。 所以A（N）+2=3^n所以A（n）=3^n—2 所以
b(n)=n3^n-2n 打字太累了，都是符号不好写~~~~~ 告诉你接下来的思路 不会再CALL我 写出T
n=1*3^1-2*1+~~~~~+n*3^n-2n 类比写出3Tn ，然后用3Tn-Tn得2Tn，求的Tn，结果应该是一个等比和等差所列的和。这题还是比较简单的，我一眼就看出来。有什么不会的问我，注意给分

追问

把结果写出来