Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。

1 求椭圆C的标准方程；
2 若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A.B两点（A.B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。

Answer 1

x^2/4+y^2/3=1
a=2,c=1,b=√3
y=kx+m代入椭圆方程，得（4k^2+3)x^2+8kmx+(4m^2-12)=0
设A(x1，y1),B(x2,y2),则
x1+x2=-8km/(4k^2+3) (1)
x1x2=(4m^2-12）/（4k^2+3) (2)
由向量AC*BC=0,得，（x1-2)(x2-2)+y1y2=0即（k^2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+(4+m^2)=0 （3）
(1),(2)代入（3），得(4m^2-12)(k^2+1)+(km-2)(-8km)+(m^2+4)(4k^2+3)=0
即7m^2+16km+4k^2=0,m=-2k或m=-2/7k
当m=-2k时，y=k(x-2),过定点（2，0）
当m=-2/7k时，y=k(x-2/7),过定点（2/7，0）