Question

已知:如图,矩形OABC放在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在X轴上,点c在y轴上,且OA=5,OC=3在AB上选取一点D

将△AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E.(1)求直线OD所表示的函数关系式？（2）过点E作EF∥AB交OD与点F,求点F的坐标？（3）在X轴上和Y轴上是否分别存在点MN,使四边形MNED的周长最小？如果存在，求出周长最小值？如果不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)OE=OA=5,则:CE=√(OE^2-OC^2)=4,BE=1.
设AD=ED=X,则BD=3-X.
∵BD^2+BE^2=ED^2,即(3-X)^2+1=X^2.
∴X=5/3.即点D为(5,5/3)
设直线OD为:y=kx,图象过点D,则:
5/3=5k,k=1/3.故直线OD为:y=(1/3)x.
(2)EF平行AB,则E与F的横坐标相等,都为4.
把X=4代入y=(1/3)x,得:y=4/3.故点F为(4,4/3).
(3)取点E关于Y轴的对称点E'(-4,3);点D关于X轴的对称点D'(5,-5/3).
连接D'E',分别交X,Y轴于M,N.此时四边形MNED的周长最小.
ME+MN+MD=ME'+MN+MD'=D'E'=√(E'D^2+D'D^2)=√(81+196/9)=5√37/3;
ED=AD=5/3.
故四边形MNED的周长最小为:5√37/3+5/3=(5√37+5)/3.