Question

如图，以直角三角形的两条直角边AC、AB为直径，向三角形内作半圆，两半圆交于点D，CD=1，BD=3，则图中阴影

如图，以直角三角形的两条直角边AC、AB为直径，向三角形内作半圆，两半圆交于点D，CD=1，BD=3，则图中阴影部分的面积为多少

Answer 1

解：如图，连接AD．设AB中点为O1AC中点为O2，故D点在O1，O2两园交点上AB、AC为直径故AD垂直BC，故得方程AC²-CD²=AB²-BD²和AC²＋AB²＝（1＋3）²即AC²-AB²=－2和AC²＋AB²＝（1＋3）²，解之AC＝2，AB＝2√3，可求AD＝√3，三角形ABC面积＝（AC×AB）／2＝（2×2√3）／2＝2√3，三角形ADB面积＝（AD×BD）／2＝（√3×3）／2，三角形ACD面积＝（CD×AD）／2＝（1×√3）／2，因直角三角形ABD中直角边AD＝√3是斜边AB的一半，故角B＝30度，角BAD＝60度，连接O1D，三角形O1DA为等边三角形，故角AO1D　＝60度，扇形弧形ADO1面积＝π／2，圆O1的AD炫形面积＝扇形ADO1面积－等边三角形O1DA＝π／2－（3／4）√3，圆O1的BD炫形面积＝圆O1半圆面积－三角形ADB面积－AD炫形面积＝（3π）／2－（√3×3）／2－＜π／2－（3／4）√3＞＝π－（3／4）√3，同理圆O2，CD炫形面积＝π／6－（1／4）√3，圆O2，AD炫形面积＝π／3－（1／4）√3，故阴影ACD面积＝O2半圆面积－圆O1的AD炫形面积－圆O2，AD炫形面积＝π／2－＜π／2－（3／4）√3＞－＜π／3－（1／4）√3＞＝√3－π／3此题也够麻烦哦！

Answer 2

解：如图，连接AD．
则AD⊥BC，根据射影定理有：
AC2=CD•CB=CD（CD+BD）=4，即AC=2；
同理可求得AB=2 3；
因此∠ABD=30°，∠ACD=60°；
∴∠AMD=60°，∠AND=120°．
∴扇形MAD中，弓形AD的面积=S扇形MAD-S△MAD= 60×π×(3)2360- 334= π2- 334；
同理可求得扇形AND中，S弓形AD= π3- 34；
因此S阴影= π2-（ π2- 334+ π3- 34）= 3- π3（平方单位）．

Answer 3

连接AD，则AD⊥BC，则△ACD∽△BCA；根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出AC=2，因而∠B=30度，根据扇形的面积公式就可以求出两个半圆的公共部分的面积．用以AC为直径的半圆的面积，减去公共部分的面积就得到阴影部分的面积．