Question

高中数学 直线与圆问题

已知过点P（3，8）的直线l与圆C：x²+y²-4y-21=0相交与A、B两点，且AB=8.求直线l的方程

Answer 1

圆C为x*2+（y-2）*2=25，即圆心为（0,2），半径为5的圆，过圆心T做TM垂直于弦AB，由勾股定理得知TM=3，则圆心为（0,2），半径为3的圆D，此圆方程x*2+（y-2）*2=9与直线AB相切，由于AB过点(3,8),设AB直线方程为y-8=k（x-3），连接这两个方程，由于相切，故△=0，解得k=3/4,故直线AB方程为y-8=3/4（x-3）

Answer 2

圆的方程配方后得 x^2+(y-2)^2=25，圆心（0，2），半径r=5。
由于|AB|=8<2r，所以这样的直线有两条。
由勾股定理，圆心到直线的距离d满足：d^2+(|AB|/2)^2=r^2，
因此，d^2=9 ，
设直线L方程为 A(x-3)+B(y-8)=0，（这样设的好处是避免斜率不存在时有遗漏）
则 d^2=(-3A-6B)^2/(A^2+B^2)=9，
化简得 B(4A+3B)=0 ，
取 A=1，B=0 或 A=3，B=-4 得直线方程为 x=3 或 3x-4y+23=0 。

Answer 3

设此直线为：y=k(x-3)+8
圆的方程为：
x²+(y-2)²=25
设圆心到直线的距离为D,则有：
D²=R²-(AB/2)²
即：|3k-2+8|/(k²+1)=25-16
|(3k+6)|=9(k²+1)
当3k+6≥0时有：
3k+6=9k²+9 即：3k²-k+1=0 此方程无实数解！
当3k+6<0时有：
-3k-6=9k²+9 即：3k²+k-5=0
解得：k=1/3(舍去） 或 k=-5
则直线方程为：y=-5(x-3)+8

Answer 4

圆心（0,2），半径=5,过圆心T做TM垂直于弦AB，由勾股定理得知TM=3，则圆心为（0,2），半径为3的圆D，此圆方程x*2+（y-2）*2=9与直线AB相切，由于AB过点(3,8),设AB直线方程为y-8=k（x-3），连接这两个方程，由于相切，故△=0，解得k=3/4,故直线AB方程为y-8=3/4（x-3）