Question

求证：[a,b]上可积函数f(x)， |f(x)|在[a,b]上的积分=0 的充要条件是 f^2(x)在[a,b]上的积分=0

从左边推右边好像可以用积分第一中值定理， 但右边推左边不知怎么弄。。。

Answer 1

可以用Lebesgue定理吗，f可积的充要条件是f在[a b]上不连续点集是零测集。用这个结论就容易了。不能用的话，我想到一个证法，就是有点麻烦：先证明若积分（从a到b）>0，则存在一个区间[c d]和一个正数e>0，使得f(x)>e，x位于[c d]。这个结论用反证法证明：若对于任意的正数e和任意的区间[c d]，都存在一个点t位于[c d]，使得f(t)<=e，则可取特殊的点使得Riemann和<e(b-a)，令e趋于0取极限可得矛盾。利用这个结论，题目也就容易证明了。

追问

这个还没学。。。 只用R积分的知识呢~

追答

那就是我上面的第二种证明方法就行。这道题不能用积分中值定理，因为被积函数没说是连续的，只有连续的函数才能用积分中值定理。如果知道Cauchy-Schwartz不等式，也能证明这道题。f^2的积分是0，证明|f|的积分是0的时候，可以用Cauchy-Schwartz不等式。反之，|f|的积分是0，则又不等式f^2<=M|f|，其中M是|f|的上确界，则可知f^2的积分是0。

Answer 2

如果有连续条件，则不需数学分析的知识。

Answer 3

|f(x)|在[a,b]上的积分=0
则f(x)在[a,b]上几乎处处为0
于是f^2(x)在[a,b]上的积分=0
反之亦然。

追问

这个我知道。。 需要严格的证明

追答

如果只是R积分的知识，那f(x)必须为连续函数，否则不好证。