Question

已知函数f(x)=x^4-4x^2+ax^2-1在区间｛0，1｝上单调递增，在区间｛1，2｝上单调递减.求大神帮助

已知函数f(x)=x^4-4x^2+ax^2-1在区间｛0，1｝上单调递增，在区间｛1，2｝上单调递减. (1)求a的值 (2)记g(x)=bx^2-1,若方程f(x)=g(x)的解集有3个元素，求b的取值范围

Answer 1

由题意可知： （1）x=1是函数的拐点（函数值变化趋势改变的点），故f(x)的微分结果为4x^3-8x+2ax，将x=1代入上式得：4-8+2a=0,从而a=2。 （2）由f(x)=g(x)，可知f(x)-g(x)=x^4-2x^2-bx^2=0，即0为方程的一个解，同时x^2-2-b=0有非零解才能满足条件，故2+b不等于零，即b不等于-2即为题目的要求。

Answer 2

(1)f`(x)=4x^3-12x^2+2ax ∵f(x)在(0,1)单调增，(1,2)单调减 ∴f`(1)=0，解得a=4 (2)f(x)=x^4-4x^3+4x^2-1 h(x)=f(x)-g(x)=x^4-4x^3+(4-b)x^2 f(x)=g(x)有3个解 则h(x)=0有三个解 又h(x)=x^4-4x^3+(4-b)x=x^2(x^2-4x+(4-b)) 显然,h(x)=0其中一解为x=0 则u=x^2-4x+(4-b)=0需有2解 ∴△=4-4(4-b)>0 解得b>0 ∴b∈(0,+∞)