Question

已知圆C:x^2+Y^2-2ax-2ay+2a^2-18=0

已知圆C:x^2+Y^2-2ax-2ay+2a^2-18=0(a>0),且圆心C到直线l:x+y-2=0的距离为5×根号2
求圆C的标准方程,判断l与C的位置关系

Answer 1

圆C:x^2+Y^2-2ax-2ay+2a^2-18=0(a>0) 可化为
(x-a)^2+(y-a)^2=18=(3√2)^2; 所以圆心C为（a，a），半径为 3√2。
过圆心C作直线 l 的垂线M交直线 l 于Q点，则|CQ|=5√2。
因为直线 l 的斜率为 -1；所以垂线M的斜率为 1；
所以垂线M方程为 y-a = 1*（x-a），即y=x；
联立直线 l 和M的方程，得到交点Q（1，1）；
所以|CQ|=√[(a-1)^2+(a-1)^2]=5√2, 解得 a = -4或者a = 6；
因为a>0; 所以a=6。
所以标准方程为 (x-6)^2+(y-6)^2=18；|CQ|=5√2>3√2,所以 l 和圆C相离。