Question

线性代数，行列式。期待大神3解答

Answer 1

由题设知道
|A-0|=0,|A-2E|=0,|A-(-2/3)E|=0
所以A有特征值0,2,-2/3,
从而A+E有特征值1，3，1/3。
又3阶矩阵只有3个不同的特征值，故1，3，1/3是A+E的全部特征值。
所以|A+E|=1。（A+E的全部特征值1，3，1/3的乘积）

Answer 2

A,A-2E,3A+2E均不可逆，就说明这三个矩阵的行列式的值都等于0
即|A|=|A-2E|=|3A+2E|=0，
而A是三阶矩阵，
那么由定义很容易知道
A的3个特征值为0，2，-2/3
所以
A+E的3个特征值为1，3，1/3
于是三阶矩阵A+E的行列式值等于其三个特征值的乘积，
即
|A+E|=1×3× 1/3=1