Question

高二数学：椭圆

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左顶点为A，右顶点为B，短轴长为2。若椭圆C与抛物线y^2=4√3x有共同的焦点，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，且直线AP、BP与直线y=3分别交于G、H两点。设m是直线AP到直线BP的角，求m的取值范围。

Answer 1

椭圆短轴长2b=2，所以b=1；
y^2=4√3x的焦点为(√3, 0), 所以椭圆c=√3，所以aa-bb=3，所以a=2
所以椭圆方程为(x^2)/4+y^2=1，所以A(-2, 0), B(2, 0)
设P(x, y), AP^2=(x+2)^2+y^2=(x+2)^2+1-(x^2)/4=3x^2/4+4x+5=(3x/2+5)(x/2+1)
BP^2=(x-2)^2+y^2=(x-2)^2+1-(x^2)/4=3x^2/4-4x+5=(3x/2-5)(x/2-1)
AP^2+BP^2=1.5x^2+10>=10(x=0)
(AP^2)×BP^2=(9x^2/4-25)(x^2/4-1)=9x^4/16-17x^2/2+25<=25(x=0)
cos(m) = (a^2 + b^2 - 4) / (2·a·b)>=6/10=3/5
0<m<=53.13°

追问

谢谢回答。但您的做法显然是错的。比如点P在y轴上时，这个角很容易算出来，是大于120度的。老师讲用公式：tanm=(k1-k2)/(1+k1*k2)，k1是直线PA的斜率，k2是直线PB的斜率，另通过计算可以得出：k2=-1/4k1。答案是：（90度，180度-arctan(4/3)]。但我不知道最后一步是如何计算出来的。盼高手解答。