Question

请教一道数学的函数取值范围的问题

设函数f（x）=x平方+aln（1+x）有两个极值点x1，x2，且x1小于x2。
（1）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性
（2）求f（x2）的取值范围

第一问会做，请教第二问，谢谢

Answer 1

这是2009年全国理科卷2的最后一道解答题
1.
f’(x)=2x+a/(1+x)=0,2x^2+2x+a=0有不等的实根，4-8a>0,a<1/2。
x1=[-1-√(1-2a)]/2,x2=[-1+√(1-2a)]/2,
a≤0时x1≤-1,不在f(x)的定义域内，所以a取值范围是(0,1/2).
-1<x1,x1<x<x2时f’(x)<0,[x1,x2]是f(x)的减区间；
x>x2或-1<x<x1时f’(x)>0,[x2,+∞)或(-1,x1)是f(x)的增区间;
2.
设t=√(1-2a),则0<t<1,a=(1-t^2)/2,x2=(t-1)/2,
f(x2)=[(t-1)/2]^2+[(1-t^2)/2]ln[(t+1)/2],记为g(t)。
g’(t)=(t-1)/2+(1-t^2)/(t+1)-2tln[(t+1)/2]=(1-t)/2-2tln[(t+1)/2]>0,
∴g(t)>g(0)=1/4+(1/2)ln(1/2)= (1-2ln2)/4,
即f(x2)> (1-2ln2)/4.

Answer 2

如图，已知直角梯形AOCD，其中AD∥OC，D（8,6），C（10,0），
点P从O点出发沿OD方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度
同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，交OD于Q，连接PE，若设运动时间为t(s)。
求解第（3）题

（3）连接PF，在上述运动过程中，△PFE是否可能成为等边三角形？若可能，请求出此时点P的坐标；若不可能，请说明理由。
（1）已证△OCD是等腰三角形 （2）已知△PEQ面积S=（-3/5）t^2+3t

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