Question

如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为“倍角三角形

（2005•天津）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示．
（1）如图，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60度．求证：a2=b（b+c）．

（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC，其中∠A=2∠B，关系式a2=b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论．

（3）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数．

Answer 1

例1（天津市中考题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对应的边分别用a、b、c表示。

⑴如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°。求证：a2=b（b+c）

⑵如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC，如图2，∠A=2∠B，关系式a2=b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论。

　　　　　　

分析：⑴在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°，△ABC为Rt△，∠C=90°。

证法1：Rt△ACB中a=c，b=c，

所以a2=（c）2=，b（b+c）=c（c+c）=，

所以a2=b（b+c）。

⑵对于任意的倍角△ABC，∠A=2∠B，关系式a2=b（b+c）仍然成立。

如图2，延长BA至D，使AD=AC=b，连CD。

则∠CAB=2∠D，∴∠B=∠D，BC=CD=a，

由△ADC∽△CDB ，即。

所以a2=b（b+c）。

由以上的证明，可以得到关于倍角三角形的一个结论：一个三角形中有一个角等于另一个角的两倍，2倍角所对边的平方等于一倍角所对边乘该边与第三边的和。