Question

在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F. （1）在图1中，证明CE=

在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F. （1）在图1中，证明CE=CF；（2）若，∠BAD=90°， G是EF的中点（如图2），连结OG，判断OG与BD的位置关系与数量关系，并给出证明；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，连结OG（如图3），判断OG与BD的位置关系与数量关系，并给出证明.





Answer 1

（1）通过证明∠BAE=∠DAF从而得出EC=FC （2）OG= BD,  OG⊥BD （3）BD= OG, OG⊥BD

试题分析：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC,AB∥CD, ∴∠DAF="∠CEF," ∠BAE=∠DFE, ∵∠BAE="∠DAF," ∴EC=FC （运用两直线平行，内错角相等即可。） （2）证明：连结BG,DG, 易知在Rt△ABE中∠BAE=45°， 所以BE=AB ∵BE=AB=DC,EG=CG,∠BEG=135°=∠DCG ∴△BEG≌△DCG，所以BG=DG ∴∠BGE=∠DGC ∴∠BGD=∠EGC=90° ∴△BDG是等腰直角三角形 ∴∠BDG=45° ∴根据等腰三角形三线合一可得 OG= BD,  OG⊥BD     （3） 证明：连BG、CG 易证四边形CEGF是菱形 又∠ABC=120° ∴EG=CG 又∠BEG=120°=∠DCG，BE=AB=DC ∴△BEG≌△DCG ∴BG=DG，∠BGE=∠DGC ∴∠BGD=∠EGC=60° ∴△BGD是等边三角形 ∴∠BDG=60°    所以，根据三线合一可知OG⊥BD。在Rt△DEG中，OD= ，又因为BD=2OD，所以：BD= OG 点评：本题难度较大，主要考查学生对全等三角形的判断及性质综合运用能力，注意数形结合应用，作辅助线构成全等三角形为解题关键。