Question

已知直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于点A、点B，O为坐标原点，k＜0，∠BAO=30°．以线段AB为边在第三象限内

已知直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于点A、点B，O为坐标原点，k＜0，∠BAO=30°．以线段AB为边在第三象限内作等边△ABC．（1）求出k的值；（2）求出点C的坐标；（3）若在第三象限内有一点P（m， - 1 2 ），且△ABP的面积和△ABC的面积相等，求m的值．

Answer 1

（1）对于直线y=kx-1，令x=0，解得y=-1， 则B（0，-1），即OB=1， ∵∠BAO=30°， ∴在Rt△OAB中，AB=2OB=2， 根据勾股定理得：OA= A B 2 -O B 2 = 3 ， ∵k＜0， ∴A（- 3 ，0）， 把A（- 3 ，0）代入y=kx-1中得：k=- 3 3 ； （2）∵AB=2，∠BAO=30°，△ABC为等边三角形， ∴AB=AC=2，∠OAC=∠BAO+∠BAC=30°+60°=90°， ∵C在第三象限，OA= 3 ， ∴C（- 3 ，-2）； （3）∵△ABP的面积和△ABC的面积相等， ∴直线PC ∥ 直线AB， 设直线PC解析式为y=- 3 3 x+b， 把C（- 3 ，-2）代入直线PC得：-2=- 3 3 ×（- 3 ）+b，即b=-3， ∴直线PC解析式为y=- 3 3 x-3， 把点P（m，- 1 2 ）代入直线PC，得- 1 2 =- 3 3 m-3， 解得：m=- 5 3 2 ．