Question

如图，抛物线y=ax 2 +bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B。 （1）求抛

如图，抛物线y=ax 2 +bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B。 （1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标。

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax 2 +bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点， ∴ ，解得 ， ∴抛物线的解析式为y=-x 2 +3x+4；
（2）如图，∵点D（m，m+1）在抛物线上， ∴m+1=-m 2 +3m+4，即m 2 -2m-3=0， ∴m=-1或m=3， ∵点D在第一象限， ∴点D的坐标为（3，4）， 由（1）知OC=OB， ∴∠CBA=45°， 设点D关于直线BC的对称点为点E ∵C（0，4），D（3，4）， ∴CD∥AB，且CD=3， ∴∠ECB=∠DCB=45°， ∴E点在y轴上，且CE=CD=3， ∴OE=1， ∴E（0，1），即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；
（3）如图，作PF⊥AB于F，DE⊥BC于点E， 由（1）有：DB=OC=4， ∴∠OBC=45°， ∵∠DBP=45°， ∴∠CBD=∠PBA， ∵C（0，4），D（3，4）， ∴CD∥OB且CD=3， ∴∠DCE=∠CBO=45°， ∴ ， ∵OB=OC=4， ∴ ， ∴BE=BC-CE= ， ∴tan∠PBF=tan∠CBD= ， 设PF=3t，则BF=5t， ∴OF=5t-4， ∴P（-5t+4，3t）， ∵P点在抛物线上， ∴3t=-（-5t+4） 2 +3（-5t+4）+4， ∴t=0（舍去）或 ， ∴ 。