Question

在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，将△ABC绕点B逆时针旋转α，其中0°＜α＜90°得△A1BC1，A1B交AC与点E

在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120°，将△ABC绕点B逆时针旋转α，其中0°＜α＜90°得△A1BC1，A1B交AC与点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？证明你的结论；（2）当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）EA₁=FC．理由如下：
∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
∵△ABC绕点B逆时针旋转α，其中0°＜α＜90°得△A₁BC₁，
∴∠ABE=∠FBC₁=α，∠C₁=∠C=30°，BC₁=BC，BA=BA₁，
∴BA=BC₁，
在△BAE和△BC₁F中

∠A＝∠C1 BA＝BC1 ∠BAE＝∠BC1F

，
∴△BAE≌△BC₁F，
∴BE=BF，
∵BA₁=BC=BA，
∴EA₁=FC；
（2）四边形BC₁DA为菱形．理由如下：
∵α=30°，
∴∠ABA₁=∠CBC₁=30°，
而∠A₁=∠C=30°，
∴∠ABA₁=∠A₁，∠CBC₁=∠C，
∴AB∥A₁C₁，BC₁∥AC，
∴四边形BC₁DA为平行四边形，
∵BA=BC₁，
∴四边形BC₁DA为菱形．