Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，截面DAN交PC于M．（Ⅰ）求PB与平面ABCD所成角的大小；（Ⅱ）求证：PB⊥平面ADMN；（Ⅲ）求以AD为棱，PAD与ADMN平面的锐二面角余弦值大小．

Answer 1

（I）解：取AD中点O，连接PO，BO．如图所示．
∵△PAD是正三角形，∴PO⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∴BO为PB在平面ABCD上的射影，
∴∠PBO为PB与平面ABCD所成的角．
由已知△ABD为等边三角形，∴PO=BO=

3

，
∴PB与平面ABCD所成的角为45°．
（Ⅱ）证明：由菱形ABCD及∠BAD=60°可得△ABD是正三角形，∴AD⊥BO，∴AD⊥PB，
又PA=AB=2，N为PB中点，∴AN⊥PB，
∵AN∩AD=A，
∴PB⊥平面ADMN．
（Ⅲ）证明：连接ON，∵PB⊥平面ADMN，∴ON为PO在平面ADMN上的射影，
∵AD⊥PO，∴AD⊥NO，
故∠PON为所求二面角的平面角．
∵△POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，∴∠PON=45°
COS∠PON=

2

2

，
∴面PAD与ADMN平面所成锐二面角余弦值为

2

2

．