Question

当自然数n的个位数分别为0，1，2，…，9时，n2，n3，n4，n5的个位数如表所示： n的个位数 0 1 2 3 4 5

当自然数n的个位数分别为0，1，2，…，9时，n2，n3，n4，n5的个位数如表所示： n的个位数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n2的个位数 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 n3的个位数 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 n4的个位数 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1 n5的个位数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9（1）从所列的表中你能发现什么规律？（2）若n为自然数，和数1981n+1982n+1983n+1984n不能被10整除，那么n必须满足什么条件？

Answer 1

（1）当自然数n的个位数分别为0、1、5、6时，n²，n³，n⁴，n⁵的个位数也是0、1、5、6；
当自然数n的个位数为4、9时，n²，n³，n⁴，n⁵的个位数是4、6，9、1交替．
（2）分n=4k，4k+1，4k+2，4k+3（k为自然数）来讨论，
①当n=4k时，1981ⁿ、1982ⁿ、1983ⁿ、1984ⁿ的个位数字分别是1、6、1、6，则1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ个位数字为4，
故10 不能整除1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ；
②当n=4k+1时，1981ⁿ、1982ⁿ、1983ⁿ、1984ⁿ的个位数字分别是1、2、3、4，则1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ个位数字为0，
故10 能整除1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ；
③当n=4k+2时，1981ⁿ、1982ⁿ、1983ⁿ、1984ⁿ的个位数字分别是1、4、9、6，则1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ个位数字为0，
故10 能整除1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ；
④当n=4k+3时，1981ⁿ、1982ⁿ、1983ⁿ、1984ⁿ的个位数字分别是1、8、7、4，则1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ个位数字为0，
故10 能整除1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ；
故当且仅当n=4k时，和数1981ⁿ+1982ⁿ+1983ⁿ+1984ⁿ不能被10整除．