Question

（2013?郴州模拟）如图，已知AB=10，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为斜边作直角△ACD、直角△BCE，且

（2013?郴州模拟）如图，已知AB=10，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为斜边作直角△ACD、直角△BCE，且∠A=60°，∠B=30°，连接DE，M是DE的中点．（1）当C运动到AB的中点时，△ACD、△BCE和△DCE有什么关系？（2）当C运动到什么位置时，△ACD、△BCE和△DCE相似？（3）当C运动到什么位置时，△DCE有最大面积，最大面积是多少？（4）当C在AB上运动时，M点怎样运动，运动的距离是多少？

Answer 1

∵△ACD、△BCE都是直角三角形，∠A=60°，∠B=30°，
∴∠ACD=90°-∠A=90°-60°=30°，
∠BCE=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴∠DCE=180°-30°-60°=90°，
（1）点C运动到AB的中点时，AC=BC=

1

2

AB=

1

2

×10=5，
∴AD=CE=

1

2

AC=

1

2

×5=2.5，CD=BE=

3

2

AC=

5 3

2

，
又∵∠ADC=∠DCE=∠BEC=90°，
∴△ACD≌△BCE≌△DCE；

（2）设AC=x，则CD=

3

2

x，
BC=AB-AC=10-x，
CE=

1

2

BC=

1

2

（10-x），
∵△ACD、△BCE和△DCE相似，
∴

CD

CE

=

AD

CD

或

CD

CE

=

CD

AD

，
即

3 2 x

1 2 (10?x)

=

3

3

或

3 2 x

1 2 (10?x)

=

3

，
解得x=2.5或x=5；

（3）△DCE的面积=

1

2

CD?CE，
=

1

2

?

3

2

x?

1

2

（10-x），
=-

3

8

（x-5）²+

25 3

8

，
∴当x=5，即点C运动到AC=5时，△DCE有最大面积，最大面积是

25 3

8

；

（4）延长AD、BE相交于点F，
∵∠A=60°，∠B=30°，
∴∠AFB=180°-60°-30°=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
连接CF，∵点M是DE的中点，
∴点M也是CF的中点，
∴点M的运动轨迹是△ABF的中位线，
点M运动的距离=

1

2

AB=

1

2

×10=5．