Question

（2014?花都区一模）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内

（2014?花都区一模）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部，再延长BG交DC于点F．（1）求证：A、G、D三点在以点E为圆心，EA的长为半径的圆上；（2）若AD=3AB，求DCDF的值；（3）若DCDF=k，求ADAB的值．

Answer 1

解答：（1）证明：∵E是AD的中点
∴AE=DE
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴△ABE≌△GBE，
∴AE=EG，
∴AE=DE=EG，
∴三点A、G、D在以点E为圆心，EA的长为半径的圆上；
（2）解：连接EF，
∵∠EGF=∠D=90°，
∴△EGF和△EDF是直角三角形．
在Rt△EGF和Rt△EDF中

EG＝ED EF＝EF

，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴GF=DF
设AB=a，DF=b，且AD=

3

AB，
∴BC＝

3

a，CF=DC-DF=a-b．
∵BG=AB=a，
∴BF=BG+GF=a+b．
在Rt△BCF中，
∵BC²+CF²=BF²，
∴(

3

a)2+(a?b)2＝(a+b)2，
∴3a=4b，
∴

a

b

＝

4

3

，
∴

DC

DF

＝

a

b

＝

4

3

；

（3）解：∵GF=DF．设DF=x，BC=y，
∴GF=x，AD=y．
∵

DC

DF

＝k，
∴DC=k?DF，
∴DC=AB=BG=kx．
∵CF=DC-DF=kx-x，
∴CF=（k-1）x，BF=BG+GF=（k+1）x．
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，
∴y²+[（k-1）x]²=[（k+1）x]²．
∴y＝2x

k

，
∴

AD

AB

＝

y

kx

＝

2 k

k

．