Question

把不等式“若a1 a2是正实数.则有a1^2/a2+a2^2/a1>=a1+a2”推广到一般形式并证明,还请回答我的下一个问题

把不等式“若a1 a2是正实数.则有a1^2/a2+a2^2/a1>=a1+a2”推广到一般形式并证明

这种有特殊推广到一般的题应该怎么做？我推的是a1^2/a2a3a4...an+a2^2/a1a3a4...an+...an^2/a1a2a3...a(n-1)≥a1+a2+a3+...+an但错了，应该如何保证自己不会猜错？

Answer 1

推广 a1^2/a2+a2^2/a3+a3^2/a4+……an^2/a1>=a1+a2+……an
由柯西不等式
【(a1)^2+(a2)^2+...+(an)^2】【(b1)^2+(b2)^2+...（bn)^2】≥(a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn
【(√a2)^2+...+(√an)^2+(√a1)^2】【（a1/√a2）^2+（a2/√a3）^2+……（an/√a1）^2】
≥(√a2*a1/√a2+√a3*a2/√a3+……+√a1*an/√a1)^2
也就是（a1+a2+……an）【（a1/√a2）^2+（a2/√a3）^2+……（an/√a1）^2】≥
（a1+a2+……an）^2
即a1^2/a2+a2^2/a3+a3^2/a4+……an^2/a1>=a1+a2+……an

像你那样推广的话应是
a1^n/a2a3a4...an+a2^n/a1a3a4...an+...an^n/a1a2a3...a(n-1)≥a1+a2+a3+...+an
上面柯西的那种是只将元素个数变为了n，次数还是2次，这种是元素个数与次数都变为了n
不管怎么变，右边只有一次项a1,a2……，所以左边每一项都要同样是一次，
a1^2/a2 相当于二次项除以一次项=一次项，a1^n/a2a3a4...an是n次项除以（n-1）次项=一次项
也就是左右次数要相等，这就是推广规则

追问

a1^n/a2a3a4...an+a2^n/a1a3a4...an+...an^n/a1a2a3...a(n-1)≥a1+a2+a3+...+an
这个是正确的吗？怎么证明

追答

是正确的，证明比较麻烦啊。
将上式两边同乘a1a2a3...an得到
a1^(n+1)+a2^(n+1)+...an^(n+1)≥（a1+a2+a3+...+an）a1a2a3...an
可用数学归纳法证这个式子
n=2时，要证a1^3+a2^3≥（a1+a2）a1a2 ，左边-右边=a1^2（a1-a2）-a2^2(a1-a2) =
(a1^2-a2^2)(a1-a2) =(a1+a2)(a1-a2) ^2 >=0 ,所以n=2时成立
设n=k时成立，即a1^(k+1)+a2^(k+1)+...ak^(k+1)≥（a1+a2+a3+...+ak）a1a2a3...ak （1）
则n=k+1时， 考虑 (1)对任意k个数成立，从a1,a2……a(k+1)中取k个数有k+1 中取法，所以有k+1个式子，分别如下：
a2^(k+1)+a3^(k+1)+...a(k+1)^(k+1)≥（a2+a3+...+a(k+1)）a2a3...a(k+1) ,两边同乘a1得[a2^(k+1)+a3^(k+1)+...a(k+1)^(k+1)]*a1≥（a2+a3+...+a(k+1)）a1*a2a3...a(k+1)
a1^(k+1)+a3^(k+1)+...a(k+1)^(k+1)≥（a1+a3+...+a(k+1)）a1a3...a(k+1) ,两边同乘a2得[a1^(k+1)+a3^(k+1)+...a(k+1)^(k+1)]*a2≥（a1+a3+...+a(k+1)）a2*a1a3...a(k+1)
……
[a1^(k+1)+a3^(k+1)+...ak^(k+1)]*a(k+1)≥（a1+a2+...+ak)）a(k+1)*a1a3...ak
将这k+1个式子 相加得
∑ap^(k+1)*aq ≥ k*(a1+a2+...+ak+a(k+1)）*a1a2a3...a(k+1) ， （2）
左边∑ 是对p,q=1,2……k+1 求和，且p≠q，这样求和刚好有k*（k+1）项 ，
n=k+1时要证
a1^(k+2)+a2^(k+2)+...ak^(k+2)+a（k+1）^(k+2)≥（a1+a2+a3+...+a(k+1)）a1a2a3...a(k+1)
该式右边就是（2）右边/k ，所以要证本式只需证
k*[a1^(k+2)+a2^(k+2)+...ak^(k+2)+a（k+1）^(k+2)] ≥ ∑ap^(k+1)*aq (3)
(3)式左边有k*（k+1）项,右边也有k*（k+1）项 ，所以可以想到对某一p，q来证明
取（3）左边两项 ap^(k+2)+aq^(k+2) ,取（3）右边两项ap^(k+1)*aq +aq^(k+1)*ap
ap^(k+2)+aq^(k+2) -ap^(k+1)*aq -aq^(k+1)*ap =ap^(k+1)*(ap-aq) -aq^(k+1)*(ap-aq) =
[ap^(k+1) -aq^(k+1)]*(ap-aq) = [ap^k+ap^(k-1)aq+ap^(k-2)aq^2 +……aq^k]*(ap-aq)^2 >=0
这是对任意 p,q成立，对所有p,q求和， (3) 式得证 ，
这样，假设n=k时结论成立，则n=k+1时结论也成立
由数学归纳法可证结论

Answer 2

这道题用柯西不等式比较容易证明：先是二维情况，即a1^2/a2+a2^2/a1>=a1+a2←(a1^2/a2+a2^2/a1)(a2+a1)>=(a1+a2)^2，这便是柯西不等式的二维形式。推广的话，便可以按照这个思路去做：若a1,a2,...,an-1,an是正实数，则有：
(a1^2/an+a2^2/an-1+a3^2/an-2+...+an-1^2/a2+an^2/a1)>=a1+a2+a3+...+an
证明的话，原理一样，就是柯西不等式的n维形式。【注：柯西不等式的一般表达形式为：(a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+b3^2+...+bn^2)>=(a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn)^2，当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn时，等号成立。】
关于你的猜想，虽然也是看起来有相似的，但是没有从题目考查的本质上思考，所以你的猜想无法证明。而且，注意到，不等式两边的项应该都是齐次的，即a1^2/a2、a2^2/a1与右边的a1,a2都是一次的这样的形式，如果推广成你的形式，则左边便不符合这种形式，而变成分式，通过简单的反证法证明，不难知道你的推广是不对的。希望对你有帮助。

追问

a1^n/a2a3a4...an+a2^n/a1a3a4...an+...an^n/a1a2a3...a(n-1)≥a1+a2+a3+...+an
这是对的吗？怎么证明

Answer 3

唉 被二楼抢先了

Answer 4

haoduofen...