Question

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画圆O，点P是圆O在第一象限中的一个动点，过点P作圆O的切

线与X轴交于点A，与Y轴交于点B。（1）点P在运动是，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由。
（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。
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Answer 1

解：（1）线段AB长度的最小值为4，
理由如下：
连接OP，
因为AB切⊙O于P，
所以OP⊥AB，
取AB的中点C，
则AB=2OC；
当OC=OP时，OC最短，
即AB最短，
此时AB=4；
（2）设存在符合条件的点Q，
如图①，设四边形APOQ为平行四边形；
因为∠APO=90°，
所以四边形APOQ为矩形，
又因为OP=OQ，
所以四边形APOQ为正方形，
所以OQ=QA，∠QOA=45°；
在Rt△OQA中，根据OQ=2，∠AOQ=45°，
得Q点坐标为（ 2，- 2）；
如图②，设四边形APQO为平行四边形；
因为OQ∥PA，∠APO=90°，
所以∠POQ=90°，
又因为OP=OQ，
所以∠PQO=45°，
因为PQ∥OA，
所以PQ⊥y轴；
设PQ⊥y轴于点H，
在Rt△OHQ中，根据OQ=2，∠BQO=45°，
得Q点坐标为（- 2， 2）．
所以符合条件的点Q的坐标为（ 2，- 2）或（- 2， 2）．

Answer 2

如图,在平面直角坐标系内,中,以坐标原点O为圆心,2为半径画○O，且P在第一象限内，过点P作○O的切线与X轴相交于点A，与Y轴相交于点B。(1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由。（2）在○O上是否存在一点Q，使得以Q.O.A.P为顶点的四边形式平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）线段AB长度的最小值为4.
理由如下：
连接OP，
因为AB切⊙O于P，所以OP⊥AB.
取AB的中点C，则AB＝2OC.
当OC＝OP时，OC最短.
即AB量短，此时AB＝4.
（2）设存在符合条件的点Q.
如图①，设四边形APOQ为平行四边形.

因为∠APO＝90°.
所以四边形APOQ为矩形.
又因为OP＝OQ.
所以四边形APOQ为正方形，
所以OQ＝OA，∠QOA＝45°，
在Rt△OQA中，根据OQ＝2，∠AOQ＝45°.
得Q点坐标为（ ，－ ）.
如图②，设四边形APQO为平行四边形.

因为OQ∥PA，∠APO＝90°.
所以∠POQ＝90°.
又因为OP＝OQ.
所以∠PQO＝45°，
因为PQ∥OA.
所以PQ⊥y轴.
设PQ⊥y轴于点N，
在Rt△OHQ中，根据OQ＝2，∠HQO＝45°.
得Q点坐标为（－ ， ）.
所以符合条件的点Q的坐标为（ ，－ ）或（－ ， ）.