Question

如图，在四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF.

(1)若四边形AECF是平行四边形，求证四边形ABCD是平行四边形。
（2）若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？为什么？
（3）若四边形AECF是矩形，是判断四边形ABCD是否为矩形。

Answer 1

(1)证明:连接AC,交BD于O.
∵四边形AECF是平行四边形.
∴OA=OC;OE=OF.
又BE=DF,则OB=OD.
∴四边形ABCD是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
(2)四边形ABCD是菱形.
证明:∵ 四边形AECF是菱形.
∴AC垂直BD.
又四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD为菱形.(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)
(3)若四边形AECF是矩形,则四边形ABCD不一定是矩形.
证明:∵四边形AECF为矩形.
∴EF=AC.(矩形对角线相等)
则EF+BE+DF不一定等于AC.
而矩形对角线是相等的,故四边形ABCD不一定是矩形.
(注:只有当E与B重合,F与D重合时,四边形ABCD才是矩形.)

Answer 2

(1)证明:连接AC,交BD于O.
∵四边形AECF是平行四边形.
∴OA=OC;OE=OF.
又BE=DF,则OB=OD.
∴四边形ABCD是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
(2)四边形ABCD是菱形.
证明:∵ 四边形AECF是菱形.
∴AC垂直BD.
又四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD为菱形.(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)
(3)若四边形AECF是矩形,则四边形ABCD不一定是矩形.
证明:∵四边形AECF为矩形.
∴EF=AC.(矩形对角线相等)
则EF+BE+DF不一定等于AC.
而矩形对角线是相等的,故四边形ABCD不一定是矩形.
(注:只有当E与B重合,F与D重合时,四边形ABCD才是矩形.)