Question

关于数学的题目~~要过程！！

设曲线y=（ax-1)e^x在点A（x0，y1）处的切线为L1
,曲线y=（1-x）e^-x在点A(x0,y2)处的切线为L2,若存在x0属于【0,3/2】，使得L1垂直L2，则a的取值范围是

Answer 1

曲线y=（ax-1)e^x
y＇=ae^x+（ax-1)e^x=(a+ax-1)e^x
又该曲线在点A（x0，y1）处的切线为L1
∴k1=(a+ax0-1)e^x0

曲线y=（1-x）e^-x
y＇= -e^(-x)-（1-x）e^(-x)= -（2-x）e^(-x)
k2= -（2-x0）e^(-x0)=（x0-2）e^(-x0)

∵L1垂直L2
∴k1×k2= -1=(a+ax0-1)e^x0×( x0-2)e^(-x0))=(a+ax0-1)×( x0-2)= ax0²-(1+a)x0-2a+2=-1
即x0属于【0,3/2】时，存在ax0²-(1+a)x0-2a+3=0
Ⅰa=0时
即-x0+3=0
x0=3,不满足条件
Ⅱa≠0时
f(x)=ax²-(1+a)x-2a+3=0为二次函数
对称轴x=1/(2a)+1/2 ，Δ=9a²-12a+1≥0， 解得a≤ -（√3）/3+2/3或 a≥ （√3）/3+2/3
∵x0属于【0,3/2】时,y存在零点
f(0)= -2a+3
f(3/2)=（-5a+6）/4
①f(3/2)×f(0)≤0时满足条件
即（-2a+3）（-5a+6）≤0
解得6/5≤a≤3/2.
即（√3）/3+2/3≤a≤3/2

②f(3/2)×f(0)＞0时
Ⅰa＞0时
必须满足f(0)＞0，f(3/2)＞0,
对称轴x=1/(2a)+1/2。 0＜1/（2a）+1/2＜3/2
即-2a+3＞0
-5a+6＞0
-1/2＜1/(2a)＜1
解得a＜3/2
a＜6/5
a＞1/2
无解
Ⅱa＜0时
必须满足f(0)＜0，f(3/2)＜0,
对称轴x=1/(2a)+1/2。 0＜1/（2a）+1/2＜3/2
即-2a+3＞0
-5a+6＞0
-1/2＜1/(2a)＜1
解得a＜3/2
a＜6/5
a＞-1
解得-1＜a＜0
综上a∈﹙﹣1,0﹚∪[（√3）/3+2/3,3/2]

Answer 2

解：先求导，y1′=(ax+a-1)e^x y2′=(x-2)e^(-x)
据题意，存在0≤x0≤3/2，使得(ax0+a-1)e^x0 •(x0-2)e^(-x0)=-1
化简，即 f(x)=ax^2-(a+1)x+3 在0≤x≤3/2上有实数根。
当a=0时，令f(x)=0,解得x=3 不合题意
故a≠0，f(x)为一元二次函数，且f(0)=3>0,故
①当f(3/2)≤0时，f(x)=ax^2-(a+1)x+3 在0≤x≤3/2上一定有实数根
f(3/2)=3a/4+3/2 ≤0 所以，a≤ -2
②当f(3/2)>0时，要使f(x)=ax^2-(a+1)x+3 在0≤x≤3/2上有实数根，只需
0≤(a+1)/2a<3/2 且f[(a+1)/2]≤0
解0≤(a+1)/2a<3/2 得，a≤-1 或 a>0
解f[(a+1)/2]=-(a^2-10a+1)/(4a)≤0 得，0<a≤5-2√6 或a≥5+2√6
综上所述，a的取值范围是：a≤ -2 或a≥5+2√6.

Answer 3

y1'=(ax+a-1)e^x （切线斜率）
y2'=(x-2)e^-x （切线斜率）
垂直：y1'y2'=-1
即(ax0+a-1)(x0-2)=-1
......
------------------------------------
题目等价于二元一次方程在[0,3/2]有实数解（当然要先考虑a=0）