Question

已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y) (x,y属于R),f(1)=-1

求f(0)和f(-2)的值
若f(5)=m,试用m表示f(-5）
判断f(x)的奇偶性

Answer 1

f(1+0)=f(1)+f(0)+0
得：f(0)=0
f(1-1)=f(1)+f(-1) 得：f(-1)=1
f(-2)=f(-1-1)=f(-1)+f(-1)+2(-1-1)
即：f(-2)=-2

f(5-5)=f(5)+f(-5) 即：f(5)+f(-5)=0 得：f(-5)=-m

因：f(x-x)=f(x)+f(-x) 得：f(x)=-f(-x) 所以此函数是奇函数！

Answer 2

∵定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y)
令x=y=0得
f(0)=f(0)+f(0)+2×0
∴f﹙0﹚=0
令y=-x则f(x-x)=f(x)+f(-x)+2x﹙-x﹚(x-x)
则f﹙0﹚=f(x)+f(-x)=0
∴f﹙﹣x﹚=f﹙x﹚
f﹙x﹚是奇函数
再令x=1 y=-2
则f(1-2)=f(1)+f(-2)+2﹙-2﹚(1-2)
f﹙-1﹚)=f(1)+f(-2)+4
又f﹙-1﹚)=-f(1)=1
∴f(-2)=-2
f(-5）=-f(5）=-m

Answer 3

设x=0 y=1得到f(1)=f(0)+f(1) 故f0=0
假设x=1 y=-1 得到f(-1)=1=-f(1) 故为奇函数
故f(-2)=-f(2) 所以来算f（2）。假设x=y=1 带入得到f(2)=2 所以f(-2)=-f(2)=-2
f(-5)=-f(5)=-m

Answer 4

f(-2)=-2