Question

已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c． tanA= 3 bc b 2 + c 2

已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c． tanA= 3 bc b 2 + c 2 - a 2 ．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由余弦定理知，b 2 +c 2 -a 2 =2bccosA， ∴ tanA= 3 2cosA ?sinA= 3 2 ， ∵ A∈(0， π 2 ) ， ∴ A= π 3 ； （Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，且 B+C= 2π 3 ， ∴ π 6 ＜B= 2π 3 -C＜ π 2 ， ∴ cosB+cosC=cosB+cos( 2π 3 -B) = cosB+cos 2π 3 cosB+sin 2π 3 sinB = 1 2 cosB+ 3 2 sinB = sin(B+ π 6 ) ， ∵ π 3 ＜B+ π 6 ＜ 2π 3 ， ∴ 3 2 ＜sin(B+ π 6 )≤1 ， 即cosB+cosC的取值范围是 ( 3 2 ，1] ．