Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，常数λ＞0，且λa 1 a n =S 1 +S n 对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{

已知数列{a n }的前n项和为S n ，常数λ＞0，且λa 1 a n =S 1 +S n 对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设a 1 ＞0，λ=100，当n为何值时，数列 {lg 1 a n } 的前n项和最大？

Answer 1

解（I）当n=1时， λ  a 1 2  =2 s 1 =2 a 1 ∴a 1 （λa 1 -2）=0 若取a 1 =0，则s n =0，a n =s n -s n-1 =0 ∴a n =0（n≥1） 若a 1 ≠0，则 a 1 = 2 λ ，当n≥2时，2a n = 2 λ + s n ， 2 a n-1 = 2 λ + s n-1 两式相减可得，2a n -2a n-1 =a n ∴a n =2a n-1 ，从而可得数列{a n }是等比数列 ∴a n =a 1 ?2 n-1 = 2 λ ? 2 n-1 = 2 n λ 综上可得，当a 1 =0时，a n =0，当a 1 ≠0时， a n = 2 n λ （II）当a 1 ＞0且λ=100时，令 b n =lg 1 a n 由（I）可知 b n =lg 100 2 n =2-nlg2 ∴{b n }是单调递减的等差数列，公差为-lg2 ∴b 1 ＞b 2 ＞…＞b 6 = lg 100 2 6 =lg 100 64 ＞0 当n≥7时， b n ≤ b 7 =lg 100 2 7 =lg 100 128 ＜0 ∴数列 {lg 1 a n } 的前6项和最大