Question

如图1，已知抛物线y=ax 2 +bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点． （1）求抛物线的解析式；（2）将

如图1，已知抛物线y=ax 2 +bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点． （1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax 2 +bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4） ∴将A与B两点坐标代入得： ，解得： 。 ∴抛物线的解析式是y=x 2 ﹣3x。 （2）设直线OB的解析式为y=k 1 x，由点B（4，4），得：4=4k 1 ，解得：k 1 =1。 ∴直线OB的解析式为y=x。 ∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m。 ∵点D在抛物线y=x 2 ﹣3x上，∴可设D（x，x 2 ﹣3x）。 又∵点D在直线y=x﹣m上，∴x 2 ﹣3x=x﹣m，即x 2 ﹣4x+m=0。 ∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣4m=0，解得：m=4。 此时x 1 =x 2 =2，y=x 2 ﹣3x=﹣2。 ∴D点的坐标为（2，﹣2）。 （3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3）。 根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO， 设直线A′B的解析式为y=k 2 x+3，过点（4，4），∴4k 2 +3=4，解得：k 2 = 。 ∴直线A′B的解析式是y= 。 ∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，∴BA′和BN重合，即点N在直线A′B上。 ∴设点N（n， ）， 又∵点N在抛物线y=x 2 ﹣3x上，∴ =n 2 ﹣3n，解得：n 1 = ，n 2 =4（不合题意，舍去）。 ∴N点的坐标为（ ）。 如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N 1 OB 1 ， 则N 1 （ ），B 1 （4，﹣4）。 ∴O、D、B 1 都在直线y=﹣x上。 由勾股定理，得OD= ，OB 1 = ， ∵△P 1 OD∽△NOB，△NOB≌△N 1 OB 1 ， ∴△P 1 OD∽△N 1 OB 1 。 ∴ 。 ∴点P 1 的坐标为（ ）。 将△OP 1 D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P 2 （ ）。 综上所述，点P的坐标是（ ）或（ ）。

（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可。 （2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x﹣m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。 （3）综合利用几何变换和相似关系求解：进行翻折变换，将△NOB沿x轴翻折，注意求出P点坐标之后，该点关于直线y=﹣x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个。还可以进行旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°求解。