Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA。(1)试求∠DAE的

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上，且CE=CA。(1)试求∠DAE的度数。(2)如果把第（1）题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗？试说明理由。

Answer 1

(1)∠DAE=45°；(2)∠DAE的度数不变

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠ACB=45°，根据等边对等角的性质求出∠BAD=∠BDA，∠E=∠CAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠DAE的度数； （2）由BD=BA可得∠BAD=∠BDA= （180°-∠B），由CE=CA可得∠E=∠CAE= ∠ACB= （90°-∠B），再根据三角形外角的性质即可得到结论。 （1）∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， ∵BD=BA， ∴∠BAD=∠BDA= （180°-45°）=67.5°， ∵CE=CA， ∴∠E=∠CAE= ×45°=22.5°， ∴∠DAE=∠BDA-∠E=67.5°-22.5°=45°； （2）∵BD=BA， ∴∠BAD=∠BDA= （180°-∠B）， ∵CE=CA， ∴∠E=∠CAE= ∠ACB= （90°-∠B）， ∴∠DAE=∠BDA-∠E= （180°-∠B）- （90°-∠B）=90°- ∠B-45°+ ∠B=45°， 即∠DAE的度数不变. 点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。