Question

设x 1 、x 2 （x 1 ≠x 2 ）是函数f（x）=ax 3 +bx 2 -a 2 x（a＞0）的两个极值点，（Ⅰ）若x 1 =-1，x 2

设x 1 、x 2 （x 1 ≠x 2 ）是函数f（x）=ax 3 +bx 2 -a 2 x（a＞0）的两个极值点，（Ⅰ）若x 1 =-1，x 2 =2，求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若|x 1 |+|x 2 |=2 ，求b的最大值；（Ⅲ）设函数g（x）=f′（x）-a（x-x 1 ），x∈（x 1 ，x 2 ），当x 2 =a时，求|g（x）|的最大值。

Answer 1

解：（1）∵ ， ∴ ， 依题意有-1和2是方程 的两根， ∴ ， ∴ ，（经检验，适合） （2）∵ ， 依题意， 是方程f′（x）=0的两个根， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 设 ， 由 ， 即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数， ∴当a=4时，p（a）有极大值为96， ∴p（a）在（0，6]上的最大值是96， ∴b的最大值为 。 （3）证明：∵ 是方程f′（x）=0的两根， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ，当且仅当 时取等号。