Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CD⊥AB，点C是AE的中点，AE分别交CD、BC于G、H，DC与BE的延长

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CD⊥AB，点C是AE的中点，AE分别交CD、BC于G、H，DC与BE的延长线交于点F，则下列说法：①GD=GE；②点G是△ACH的外心；③∠COB=2∠FEC；其中正确的是______（在横线上填上序号）．





Answer 1

①如图，连接AD．
∵弦CD⊥AB，点C是

AE

的中点，
∴

AD

=

AC

=

CE

，
∴∠ACG=∠GAC，
∴CG=AG．
∴在△CGE与△AGD中，

∠CEG＝∠ADG ∠CGE＝∠AGD CG＝AG

，
∴△CGE≌△AGD（AAS），
∴GD=GE．
故①正确；

②由①知，∠ACG=∠GAC，则点G在AC边的中垂线上．
∵AB是直径．
∴∠ACB=90°．
∴∠HCG=90°-∠ACG．
又∠CHA=90°-∠GAC，
∴∠HCG=∠CHA，即∠HCG=∠CHG，
∴CG=GH，
∴点G在边CH的中垂线上．
∴点G是△ACH的外心．
故②正确；

③如图，延长CO交⊙O于点G′，连接BG′．
∵∠G′+∠CEB=180°，∠FEC+∠CEB=180°，
∴∠G′=∠FEC．
又∵∠COB=2∠G′，
∴∠COB=2∠FEC．
故③正确．
故答案是：①②③．