Question

已知函数f（x）=x-1x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数f（x）在区间[1，+

已知函数f（x）=x-1x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数；（3）若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于11a?22a，求a的取值范围．

Answer 1

（1）函数f(x)＝x?

1

x

是奇函数．…（1分）
∵定义域：（-∞，0）∪（0，+∞），定义域关于原点对称，…（2分）
且f(?x)＝?x+

1

x

＝?(x?

1

x

)＝?f(x)  …（3分）
∴函数f(x)＝x?

1

x

是奇函数．…（4分）
（2）证明：设任意实数x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂  …（5分）
则f(x1)?f(x2)＝x1?

1

x1

-（x2?

1

x2

）═x1?x2?

1

x1

+

1

x2

═x1?x2?

x2?x1

x1x2

=(x1?x2)(1+

1

x1x2

)=

(x1?x2)(x1x2+1)

x1x2

   …（6分）
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈[1，+∞）
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂+1＞0，…（7分）
∴

(x1?x2)(x1x2+1)

x1x2

＜0   …（8分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）    …（9分）
∴函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数．…（10分）
（3）∵[2，a]?[1，+∞）
∴函数f（x）在区间[2，a]上也为增函数．…（11分）
∴f(x)max＝f(a)＝a?

1

a

，f(x)min＝f(2)＝2?

1

2

＝

3

2

   …（12分）
若函数f（x）在区间[2，a]上的最大值与最小值之和不小于

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