Question

（2013?邯郸一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的两个顶点分别落在坐标轴上，且点A（0，

（2013?邯郸一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的两个顶点分别落在坐标轴上，且点A（0，2）、点B（1.0），抛物线y=ax2-ax-2经过点C．（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴于AB的交点为M，求△ACM的面积；（3）若将△ABC沿AB翻折，点C是否恰好落在该抛物线上？写出验证过程；若将△ABC沿BC翻折，点A是否恰好落在该抛物线上？直接写出结果．

Answer 1

（1）过C点作 CE⊥x轴与点E，（如图1）
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=AC∠ABC=90°，
在Rt△AOB中∠OAB+∠ABO=90°，
∵∠ABO+∠CBE=90°，
∴∠OAB=∠CBE，
∵∠CEB=∠AOB=90°，
∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO，CE=OB，
∵A（0，2）B（1，0），
∴AO=2，BO=1，
∴BE=2，CE=1，
∴OE=3，
∴C（3，1），
带入 y=ax²-ax-2图象上，
∴a=

1

2

，
∴y=

1

2

x²-

1

2

x-2；

（2）∵y=

1

2

x²-

1

2

x-2；（如图2）
∴抛物线对称轴为x=

1

2

，
设对称轴交x轴于点F，交AB于点M，
∴点F的坐标为（

1

2

，0），
∴点F是OB的中点，
∵MF∥y轴，
∴M是AB的中点，
∵在Rt△AOB中，AB=

22+12

=

5

，
∴S_△ACM=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×

5

×

5

=

5

4

，

（3）设△ABC沿AB翻折后得到△ABD，
过点D作DM⊥x轴，如图（3），
∵BD=BC，∠MBD=∠EBC，∠DMB=∠CEB=90°，
∴△DBM≌△CBE，
∴BM=BE=2，DM=CE=1，