Question

设F1，F2分别是椭圆E：x2+y2b2=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|

设F1，F2分别是椭圆E：x2+y2b2=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（Ⅰ）求△ABF2的周长；（Ⅱ）求|AB|的长；（Ⅲ）若直线的斜率为1，求b的值．

Answer 1

（Ⅰ）因为椭圆E：x²+

y2

b2

=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F₁的直线与E相交于A、B两点，
由椭圆定义知|AF₂|+|A B|+|BF₂|=4a
已知a=1
∴△ABF₂的周长为4…3分
（Ⅱ） 由已知|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列
∴|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，又|AF₂|+|A B|+|BF₂|=4
故3|AB|=4，解得|AB|=

4

3

….6分
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A，B两点坐标满足方程，

y＝x+c x2+ y2 b2 ＝1

，化简得，（1+b²）x²+2cx+1-2b²=0，
则x₁+x₂=

?2c

1+b2

，x₁x₂=

1?2b2

1+b2

，
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|=

2

|x₂-x₁|，
即

4

3

=

2

|x₂-x₁|，
则

8

9

=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

4(1?b2)

(1+b2)2

-

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