Question

设数列{an}满足a1+2a2+3a3+4a4+…+nan=n，n∈N*．（1）求数列{an}的通项；（2）设bn=pn?1an（p为非零常数

设数列{an}满足a1+2a2+3a3+4a4+…+nan=n，n∈N*．（1）求数列{an}的通项；（2）设bn=pn?1an（p为非零常数），求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）∵a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+na_n=n，n∈N^*，①
∴当n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+（n-1）a_n-1=n-1，n∈N^*②
∴①-②得：na_n=1．
∴a_n=

1

n

（n≥2）．又在①中，a₁=1，符合a_n=

1

n

（n≥2）．
∴a_n=

1

n

，n∈N^*．
（2）∵b_n=

pn?1

an

（p为非零常数），a_n=

1

n

，n∈N^*，
∴b_n=np^n-1，
∴S_n=1+2p+3p²+…+np^n-1，
∴pS_n=p+2p²+…+（n-1）p^n-1+npⁿ，
∴（1-p）S_n=1+p+p²+…+p^n-1-npⁿ=

1?pn

1?p

-npⁿ，
当p=1时，S_n=1+2+…+n=

(1+n)n

2

；
当p≠1时，S_n=

1?pn

(1?p)2

-

npn

1?p

；
∴S_n=

(1+n)n 2 ，n＝1 1?pn (1?p)2 ? npn 1?p ，n≥2