Question

已知圆O:X2+Y2=1和定点A (2,1),由圆O外一点P(a,b)像圆O引切线PQ,切点为Q,且满足绝

已知圆O：X2+Y2=1和定点A (2,1)，由圆O外一点P（a,b）像圆O引切线PQ，切点为Q，且满足绝对值的PQ=绝对值的PA

（1）求证：动点P在一条顶直线上，并求出定直线方程；

（2）求线段PQ长的最小值；

Answer 1

1)PA^2=PQ^2=po^2-r^2
(a-2)^2+(b-1)^2=a^2+b^2-1
4a+2b-5=0
定直线方程4x+2y-5=0
2)当A,P,Q在一条直线，PQ有最小，即AQ为切线
此时AQ^2=AO^2-r^2=4
AQ=2
PQmin=AQ/2=1

追问

过程太简单了能不能详细一点谢谢

追答

哪部分？
1)P(a,b),o(0,0),A(2,1)
PA^2=PQ^2=PO^2-OQ^2=po^2-r^2（直角三角形PQO,OQ=r=1)
(a-2)^2+(b-1)^2=a^2+b^2-1
4a+2b-5=0
定直线方程4x+2y-5=0
2)当A,P,Q在一条直线，PQ有最小，即AQ为切线,P为线段AQ中点
此时AQ^2=AO^2-r^2=4
AQ=2
PQmin=AQ/2=1

Answer 2

：（Ⅰ）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2．
又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|2=|PA|2，即a2+b2-1=（a-2）2+（b-1）2，
化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a+b-3=0．
（Ⅱ）由2a+b-3=0，得b=-2a+3．
∴|PQ|2=a2+b2-1=a2+（-2a+3）2-1=5a2-12a+8=5（a-65）2+45，
故当a=65时，|PQ|min=2
55，即线段PQ长的最小值为2
55．
（Ⅲ）设⊙P的半径为R，OP设⊙O有公共点，⊙O的半径为1，
∴|R-1|≤|OP|≤R+1，R≥|OP|-1，且R≤|OP|+1．
而|OP|2=a2+b2=a2+（-2a+3）2=5（a-65）2+95，
故当a=65时，|PO|min=3
55，此时b=-2a+3=35，Rmin=3
55-1，
得半径取最小值时，⊙P的方程为（x-65）2+（y-35）2=（3
55-1）2