Question

已知：如图，AB是圆的直径，AB=10，DC切圆于点C，AD垂直DC，垂足为D，AD交圆于点E。 （1）求证：BC=EC

（2）若cos∠BEC=五分之四，求DC的长

Answer 1

证明：
连接OC，交BE于F
∵DC是圆O的切线
∴∠DCO=90º
∵AB是直径
∴∠AEB=90º
又∵AD⊥DC
∴四边形CDEF是矩形
∴∠CFE=90º
∴CO垂直平分BE【垂径定理】
∴BC=EC（1）
∵cos∠BEC=4/5，∴sin∠BEC=3/5, tan∠BEC=3/4
即CF/EF=DE/DC=3/4
∵DC²=DE×DA=3/4DC×(3/4DC+AE)
∴AE =7/12DE
在Rt⊿ABE中，BE=2EF=2DC，AB=10，AE=7/12DE
AB ²=AE²+BE²
10²=49/144DE²+4DE²=625/144DE²
DE=4.8

Answer 2

解：角DCE=角CBE（圆切角等于圆心角），角BEA=90度，所以DC平行BE，所以角DCE=角CEB，
所以角CEB=角CBE，所以CE=BC