Question

数学分析的，跪求

如何用有限覆盖定理证明确界原理？不要用别的完备性知识

Answer 1

证明：用反证法。
假设存在集合A有上界M但没有上确界，设a为A中的一个元素。则a<M(否则a=M，M即为A的上确界)
考虑闭区间[a,M]上的每一个元素x，取它的一个邻域I[x]，具体取法如下：
(1)如果x是A的上界，那么由反证假设知x不是A的上确界，即存在比x更小的A的上界x'。取I[x]=(x',2x-x')。显然I[x]内的所有元素都是A的上界。
(2)如果x不是A的上界，那么必存在A的元素a'使得a'>x。取I[x]=(2x-a',a')。显然I[x]内的所有元素都不是A的上界。
这样对闭区间[a,M]上的每一个元素x，它都属于它的邻域，即我们构造了一个闭区间[a,M]的无限开覆盖。由有限覆盖定理，其中必存在有限个邻域覆盖整个区间。
在这有限个邻域中取所有满足x是A的上界（即条件(1)）的区间I[x]，设这些区间的左端点（共有限个）的最小值为x0。显然x0是A的一个上界。
考虑x0，显然x0∈[a,M]，但x0却不属于有限个区间中的任何一个。这是因为它既不属于由条件(1)构造的I[x]（它比这些区间中的任何数都小），也不属于由条件(2)构造的I[x]（这些区间中所有的数都不是A的上界）。这就构成了矛盾！
对于下界及下确界的情况完全类似。
证毕。

追问

谢谢你这么仔细地解答！我不明白这X0为什么一定是A上界？
我觉得再取2条件的区间右端点的最大值Y0则可证X0Y0，则当X0=Y0时，X0才不属于这些区间，若X0>Y0，则存在B属于（Y0，X0），也不属于这些区间，与有限覆盖矛盾：所以Y0>X0.而此时，（X0，Y0）中的点即是上界，又不是上界，矛盾。
这样证可以吗？

追答

x0是A的上界是由条件(1)的构造决定的。在条件(1)构造的区间中，左端点都是A的上界。x0必是某一区间的左端点，故也是A的上界。
你的证法也是正确的。