Question

如图，直角坐标系中，点A的坐标为（a，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点

如图，直角坐标系中，点A的坐标为（a，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞a＞0），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．（1）求证：OC=AD．（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．（3）当C点运动到使OA：AC=1：3时，求出此时D点的坐标．

Answer 1

（1）证明：∵△AOB和△CBD是等边三角形， ∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°， ∵BC=BD，∠CBD=60°， ∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC， 即∠OBC=∠ABD， 在△OBC和△ABD中， OB=AB，∠OBC=∠ABD，BC=BD， ∴△OBC≌△ABD， ∴OC=AD． （2）E点的位置不会发生变化， ∵△OBC≌△ABD， ∵∠BAD=∠BOC=60°， 又∵∠OAB=60°， ∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°， ∴Rt△OEA中，AE=2OA=2a， ∴OE= 3 a， ∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0， 3 a）； （3）作DM⊥y轴， ∵∠MED=30°，OA=a，OA：AC=1：3，AE=2a，AD=OC， ∴ED=6a， ∴MD=3a， ∴EM=3 3 a， ∴OM=2 3 a， ∴D点的坐标为（3a，-2 3 a）．