Question

已知函数f（x）=lg（ax 2 +2x+1）．（1）若f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围及f（x）的值域；（2）

已知函数f（x）=lg（ax 2 +2x+1）．（1）若f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围及f（x）的值域；（2）若f（x）的值域是R，求实数a的取值范围及f（x）的定义域．

Answer 1

（1）因为f（x）的定义域为R，所以ax 2 +2x+1＞0对一切x∈R成立． 由此得 a＞0 △=4-4a＜0 解得a＞1． 又因为ax 2 +2x+1=a（x+ 1 a ） 2 +1- 1 a ＞0， 所以f（x）=lg（ax 2 +2x+1）≥lg（1- 1 a ）， 所以实数a的取值范围是（1，+∞）， f（x）的值域是 [lg(1- 1 a )，+∞) ． （2）因为f（x）的值域是R，所以u=ax 2 +2x+1的值域?（0，+∞）． 当a=0时，u=2x+1的值域为R?（0，+∞）； 当a≠0时，u=ax 2 +2x+1的值域?（0，+∞）等价于 a＞0 4a-4 4a ≤0. 解之得0＜a≤1 所以实数a的取值范围是[0.1]当a=0时，由2x+1＞0得x＞- 1 2 ， f（x）的定义域是（- 1 2 ，+∞）； 当0＜a≤1时，由ax 2 +2x+1＞0 解得 x＜- 1+ 1-a a 或 x＞- 1- 1-a a f（x）的定义域是 (-∞，- 1+ 1-a a )∪(- 1- 1-a a ，+∞) ．