Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点（a，b）在直线x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上，（1）求角C

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点（a，b）在直线x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上，（1）求角C的值；（2）若a 2 +b 2 -6（a+b）+18=0，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）∵点（a，b）在直线x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上， ∴a（sinA-sinB）+bsinB=csinC， 由正弦定理 a sinA = b sinB = c sinC ， 得a（a-b）+b 2 =c 2 ，即a 2 +b 2 -c 2 =ab．（3分） 由余弦定理得cosC= a 2 + b 2 - c 2 2ab = 1 2 ， 又∵∠C∈（0，π），∴ ∠C= π 3 ．（6分） （2）∵a 2 +b 2 -6（a+b）+18=0， ∴（a-3） 2 +（b-3） 2 =0，解得a=b=3．（9分） 所以△ABC的面积S= 1 2 absinC = 1 2 × 3 2 ×sin π 3 = 9 3 4 ．（12分）