Question

已知函数 f(x)=1- 2 x ．（Ⅰ）若g（x）=f（x）-a为奇函数，求a的值；（Ⅱ）试判断f（x）在（0

已知函数 f(x)=1- 2 x ．（Ⅰ）若g（x）=f（x）-a为奇函数，求a的值；（Ⅱ）试判断f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．

Answer 1

（Ⅰ）∵ f(x)=1- 2 x ∴g（x）=f（x）-a= 1-a- 2 x ，…（2分） ∵g（x）是奇函数， ∴g（-x）=-g（x），即 1-a- 2 (-x) =-(1-a- 2 x ) ， 解之得a=1．…（5分） （Ⅱ）设0＜x 1 ＜x 2 ，则 f( x 1 )-f( x 2 )=1- 2 x 1 -(1- 2 x 2 ) = 2( x 1 - x 2 ) x 1 x 2 ．（9分） ∵0＜x 1 ＜x 2 ， ∴x 1 -x 2 ＜0，x 1 x 2 ＞0，从而 2( x 1 - x 2 ) x 1 x 2 ＜0 ，（11分） 即f（x 1 ）＜f（x 2 ）． 所以函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数．（12分）