Question

已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π≤φ＜2π）为偶函数，且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离

已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π≤φ＜2π）为偶函数，且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为 4+ π 2 ．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[0，4π]内的所有零点之和．

Answer 1

（1）函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）为偶函数，∴cosφ=±1，∴φ=kπ，k∈z． 再由 π≤φ＜2π 可得 φ=π，∴函数f（x）=cos（ωx+π）=-cosωx，故其周期为 2π ω ，最大值为1． 设图象上最高点为（x 1 ，1），与之相邻的最低点为（x 2 ，-1），则|x 2 -x 1 |= T 2 = π ω ． ∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为 4+ π 2 = ( π ω ) 2 +2 2 ，解得ω=1， ∴函数f（x）=-cosx． （2）函数f（x）在[0，4π]内的所有零点为： π 2 ， 3π 2 ，2π+ π 2 ，2π+ 3π 2 ， ∴函数f（x）在[0，4π]内的所有零点之和为 π 2 + 3π 2 +(2π+ π 2 )+(2π+ 3π 2 )=8π ．