Question

若函数f（x）=x3-3x+m在[0，2]上存在两个不同的零点，则实数m的取值范围是______

若函数f（x）=x3-3x+m在[0，2]上存在两个不同的零点，则实数m的取值范围是______．

Answer 1

f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增；在（-1，1）上单调递减．
所以当x=-1时f（x）取得极大值f（-1）=2+m，当x=1时f（x）取得极小值f（1）=-2+m，f（0）=m，f（2）=2+m．
因为函数f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在两个不同的零点，
所以

f(0)≥0 f(1)＜0 f(2)≥0

，即

m≥0  ?2+m＜0 2+m≥0

，解得0≤m＜2．
故答案为：0≤m＜2．