（2009?江西）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球
（2009?江西）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M，（1...
（2009?江西）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M，（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；（2）求直线PC与平面ABM所成的角；（3）求点O到平面ABM的距离．
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解：方法（一）：（1）证：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BM⊥PD
因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，
因此有PD⊥平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD
（2）设平面ABM与PC交于点N，
因为AB∥CD，所以AB∥平面PCD，则AB∥MN∥CD，
由（1）知，PD⊥平面ABM，
则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，
且∠PNM=∠PCDtan∠PNM＝tan∠PCD＝
| PD |
| DC |
| 2 |
所求角为arctan2
| 2 |
（3）因为O是BD的中点，
则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，
由（1）知，PD⊥平面ABM于M，则|DM|就是D点到平面ABM距离
因为在Rt△PAD中，PA=AD=4，PD⊥AM，
所以M为PD中点，DM＝2
| 2 |
则O点到平面ABM的距离等于
| 2 |
方法二：
（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2），
设平面ABM的一个法向量
| n |
由
| n |
| AB |
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