Question

过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为（　　）A．5

过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为（　　）A．5B．52C．32D．178

Answer 1

根据题意，抛物线y²=4x的焦点为F（1，0）．
设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y=k（x-1），
由

y＝k(x?1) y2＝4x

消去x，得y²-

4

k

y-4=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由根与系数的关系可得y₁y₂=-4．
根据抛物线的定义，得|AF|=x₁+

p

2

=x₁+1=5，解得x₁=4，
代入抛物线方程得：y₁²=4×4=16，解得y₁=±4，
∵当y₁=4时，由y₁y₂=-4得y₂=-1；当y₁=-4时，由y₁y₂=-4得y₂=1，
∴|y₁-y₂|=5，即AB两点纵坐标差的绝对值等于5．
因此△AOB的面积为：
S=_△AOB=S_△AOF+S_△BOF=

1

2

|OF|?|y₁|+

1

2

|OF|?|y₂|=

1

2

|OF|?|y₁-y₂|=

1

2

×1×5=

5

2

．
故选：B