Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+1=2an，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）在数列{an}的每两

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+1=2an，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）在数列{an}的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列：an和an+1两项之间插入n个数，使这n+2个数构成等差数列，其公差记为dn，求数列{1dn}的前n项的和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）n=1时，s₁+1=2a₁，∴a₁=1，…（2分）
n≥2时，又s_n-1+1=2a_n-1，相减得a_n=2a_n-1，
∵{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
故an＝2n?1…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得an+1＝2n，
∴2ⁿ=2^n-1+（n+1）d_n，∴dn＝

2n?1

n+1

，∴

1

dn

＝

n+1

2n?1

…（8分）
∴Tn＝

2

20

+

3

21

+…+

n

2n?2

+

n+1

2n?1

，

1

2

Tn=

2

2

+

3

22

+…+

n

2n?1

+

n+1

2n

，
两式相减得：

1

2

Tn＝2+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n?1

?

n+1

2n

=2+

1 2 (1? 1 2n?1 )

1? 1 2

-

n+1

2n

=2+1-

1

2n?1

-

n+1

2n

，…（10分）
∴Tn＝6?

n+3

2n?1

．…（13分）