Question

设生产某种产品需投入甲、乙两种原料，x和y分别为甲、乙两种原料的投入量（单位：吨），Q为产出量，且生

设生产某种产品需投入甲、乙两种原料，x和y分别为甲、乙两种原料的投入量（单位：吨），Q为产出量，且生产函数为Q=kxαyβ，其中常数k＞0，α＞0，β＞0．已知甲种原料每吨的价格为P1（单位：万元），乙种原料每吨的价格为P2（单位：万吨）．如果投入总价值为A（万元）的这两种原料，当每种原料各投入多少吨时，才能获得最大的产出量？

Answer 1

本题要求函数Q=kx^αy^β在条件P₁x+P₂y-A=0下的最大值点．
用拉格朗日系数法，构造拉格朗日函数F（x，y，λ）=kx^αy^β+λ（P₁x+P₂y-A），
为求函数F（x，y，λ）的驻点，令
F′x＝Kαxα?1yβ+λP1＝0 ①
F′y＝kβxαyβ?1+λP2＝0 ②
F′_λ=P₁x+P₂y-A=0③
由①、②消去参数λ可得

αy

βx

＝

P1

P2

，即y＝

P1βx

P2α

，
代入③不难计算出唯一驻点x＝

Aα

(α+β)P1

，y＝

Aβ

(α+β)P2

．
因驻点唯一，且实际问题必存在最大产量，
所以计算结果表明，当投入总价值为A（万元）的甲、乙两种原料时，使产量Q最大的甲、乙两种原料的投入量分别是x＝

Aα

(α+β)P1

（吨）与y＝

Aβ

(α+β)P2

（吨）．