Question

在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

速度！！！在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB．

（1）如图①，当∠DAB=120°，∠B=∠D=90°时，求证：AB+AD=AC．
（2）如图②，当∠DAB=120°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
（3）如图③，当∠DAB=90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．

Answer 1

①根据题意，判断三角形ABC为直角三角形，并AB边对面的角为30度，因此AB=AC/2，以同样的原理可以推导出AD=AC/2，结果AB+AD=AC。
②三角形ABC的各角之和为180度，即 60 + ∠B + ∠ACB =180 ；同样，三角形ADC的各角之和为180度，即 60 + ∠D + ∠ACD =180 ；由于∠B + ∠D=180，由此可得出∠ACB =∠ACD ，由于两个角和中间的边相等，因此这两个三角形相等，即AB=DC，AD=BC，AB、AD、AC之间的关系可以用三角形余弦公式来表示，即 AD^2=AB^2 + AC^2 -AB*AC。
③ 如果∠DAB=90°，根据条件∠B与∠D互补性，可以判断这四边形为矩形，这样AB、AD、AC之间的关系为 AC^2=AB^2 + AD^2。