Question

求解一道积分证明题：

f(x)二阶导数大于0，证明

Answer 1

证明：不妨设a<b
由于问题仅涉及区间[a,b]上的部分，可将f(x)限制在[a,b]上，即认为a≤x≤b
注意到f''(x)>0，所以f(x)是下凸函数，即对于任意0<λ<1有f(λa+(1-λ)b)≤λf(a)+(1-λ)f(b)
取λ=(b-x)/(b-a)，代入上式得到f(x)≤(b-x)f(a)/(b-a)+(x-a)f(b)/(b-a)=[(f(b)-f(a))/(b-a)]x+(bf(a)-af(b))/(b-a)
两边积分即得到原不等式右边。
另一方面，令g(x)=f(x)-{f'((a+b)/2)[x-(a+b)/2]+f((a+b)/2)}，那么g'(x)=f'(x)-f'((a+b)/2)，g''(x)=f''(x)>0，所以g'(x)单调递增。
当x<(a+b)/2时g'(x)<g'((a+b)/2)=0，g(x)单调递减，即g(x)>g((a+b)/2)=0
当x>(a+b)/2时g'(x)>g'((a+b)/2)=0，g(x)单调递增，即g(x)>g((a+b)/2)=0
于是g(x)≥0，即f(x)≥f'((a+b)/2)[x-(a+b)/2]+f((a+b)/2)
两边积分即得原不等式左边。

Answer 2

注意到定积分是个数就好做了。 本题不算证明题，其实是个计算题注意定积分结果为一个常数解：令∫<0,a>f(x)dx=b f(x)=x -b 则：b=∫<

追问

你的回答怎么不完整的：注意到定积分是个数就好做了。 本题不算证明题，其实是个计算题注意定积分结果为一个常数解：令∫f(x)dx=b f(x)=x -b 则：b=∫<